EL EQUILIBRIO DE NASH

John Nash consiguió el Premio Nobel en Economía en 1994 por sus aportes a la Teoría de juegos. Por un lado, existen los juegos llamados de suma cero. Por ejemplo, si usted juega al póquer con otras personas, todo lo que haya ganado será el resultado de lo que los otros perdieron. La suma del dinero involucrado da cero. Dicho de otra manera, no aparece dinero nuevo. Nadie puede ganar un dinero que otro no perdió (y viceversa).

El aporte de Nash fue considerar lo que llamó los juegos que “no suman cero”. Desarrolló el concepto de lo que hoy se conoce con el nombre del “Equilibrio de Nash”. Ésta es una definición muy interesante sobre lo que significa alcanzar una situación en la que todos los participantes se van a sentir contentos. Puede que alguno hubiera podido obtener algo “mejor” si actuaba en forma individual, pero colectivamente es la mejor situación posible (para el grupo). Es decir, todos los participantes advierten que es mejor establecer una “estrategia para todos” que una individual. De esto se trata muchas veces en el “mundo real”.

En el caso de un juego de uno contra uno, el “equilibrio de Nash” se alcanza cuando nadie tiene nada para reclamar, en el sentido de que uno no variaría lo que hizo o está por hacer aun sabiendo lo que va a hacer el otro. En un juego de cartas sería como decidir qué carta uno va a jugar indistintamente si pudiera ver las cartas del otro o no.

Supongamos que veinte personas van a comprar durante cierto mes del año un determinado modelo de auto. Quizá, cada uno pueda negociar un precio que le convenga personalmente. Pero si se pusieran todos de acuerdo en entrar en la concesionaria juntos y llevaran una oferta para comprar veinte autos, parece lógico pensar que obtendrán un mejor precio.

Es casi una “teoría del compromiso”, algo muy sencillo, pero nadie lo había podido sistematizar hasta que lo hizo Nash. Él no estaba tan interesado en cómo alcanzar un equilibrio en el sentido de que todo el mundo estuviera contento con su posición, pero sí sobre cómo deberían ser las propiedades que un equilibrio debería tener. Una idea aproximada de lo que hizo Nash es lo siguiente: si uno preguntara a todos los integrantes de una mesa (de negociaciones, por ejemplo): “Si todos los otros jugadores se mantuvieran en la posición que están ahora, ¿usted cambiaría lo que está haciendo?”. Lo que equivaldría a preguntar si cada uno mantendría su posición, si supiera que todo el resto se mantendrá quieto. Ésa es la lógica para alcanzar el “equilibrio de Nash”.

Mucho tiempo después de que Nash escribiera su teoría del equilibrio en 1950, el mundo comenzó a usarla. De hecho, el mejor exponente fue cómo se empezó a tratar el tema de las “licitaciones” o “remates”, y presentó un ejemplo maravilloso: las reglas que gobiernan un remate son las mismas que gobiernan un “juego”. En este caso, los “apostadores” son los competidores en un juego; las estrategias son “su plan de acción”, la forma en la que van a apostar, y la ganancia es quién obtiene lo que se vendía y cuánto paga por lo que está en juego.

A los que trabajan en Teoría de juegos, este tipo de “licitaciones” o “remates” les permite predecir lo que los jugadores van a hacer, aprovechando lo que saben del equilibrio de Nash, y transforman reglas que podrían ser muy complicadas en algo “analizable”. No sólo eso: en ese tipo de operaciones, cuando hay “grandes licitaciones”, cuando se habla de “miles de millones de dólares”, los apostadores saben bien qué hacer. Ellos saben que hay mucho dinero en juego; se pasan mucho tiempo pensando y contratan expertos que les permitan mejorar su posición. Para fijar las ideas, uno puede pensar en “licitaciones gubernamentales”, en las que aparecen –por ejemplo– empresas de telefonía, o de Internet, o de telefonía celular involucradas.

En el pasado, este tipo de licitaciones se manejaban en forma arbitraria, algo así como un concurso de belleza. Como consecuencia, el resultado era que los gobiernos no conseguían que nadie pagara el verdadero valor de lo que estaba en juego, y eso sin hablar de la corrupción endémica de quienes negocian ese tipo de contratos. De hecho, con el aporte de Nash los gobiernos tienen ahora una herramienta muy poderosa: que los interesados “apuesten” para conseguir lo que quieren, de manera tal de obtener la mayor cantidad de dinero posible.

En el año 2002, con la participación de matemáticos expertos en Teoría de juegos, liderados por Ken Binmore, el gobierno inglés escribió sus reglas para otorgar la licencia para la tercera generación de telefonía móvil. Binmore y su equipo se pasaron dos años pensando en todas las posibles licitaciones (aunque esto suene exagerado). El resultado: el gobierno inglés consiguió 23.000 millones de libras esterlinas (algo así como 46.000 millones de dólares al cambio de mediados de 2007). Y eso, por haber usado la teoría de Nash, quien empezó hace cincuenta años analizando los juegos de ajedrez y de póquer, y ahora sus ideas impactan en la economía global y son capaces de generar miles de millones de dólares para los gobiernos (si es que se deciden a usarla).

Nash, en todo caso, hizo algo muy sencillo, que hasta parece increíble que nadie lo hubiera podido ver antes. Pero claro, los que merecen reconocimiento son aquellos que “miraron hacia donde todos apuntaban, pero vieron lo que nadie veía”. Quizá, ver lo obvio es tener una gran idea.

La Teoría de juegos estudia cómo la gente toma decisiones cuando estas decisiones afectan a los demás y no sólo a ellos. Por ejemplo, si usted entra en un negocio y compra un kilo de carne, eso no cambiará el precio de la carne. En cambio, si una compañía automotriz decide modificar el precio de uno de sus autos para seducir a los consumidores, eso implicará un cambio (eventual) en el precio de todos los autos similares. De hecho, cuando se modifica el precio de la nafta, tiene un efecto dominó que afecta a diferentes sectores de la sociedad.

En algún sentido, uno puede pensar la Teoría de juegos como el lenguaje matemático que describe cómo interactúa la gente. Algunas personas actúan en forma más racional (o más irracional) que otras, y la Teoría de juegos analiza también esas situaciones.

Por ejemplo, en las subastas o los remates por Internet, hay gente más profesional y amateurs que apuestan para conseguir algo por primera vez. Los que “regulan” el remate se ocupan de que la interacción sea normal, de manera tal que nadie corra ningún riesgo. Por eso son tan importantes las reglas de la subasta, por cómo afectan la conducta de la gente. Más aún: pequeñas modificaciones en esas reglas generan grandes modificaciones en el comportamiento de los usuarios.

Podemos comparar las subastas de e-bay con las de Yahoo y Amazon. La gente de e-bay tiene una “hora límite”. Es decir, ellos instituyen que a “determinada hora” se termina la subasta. Amazon, en cambio, lo hace de otra forma. No es que no tenga un reloj, sino que el remate concluye diez minutos después de que se hizo la última oferta. Esto implica que se prolongue el tiempo del remate. Por ejemplo, si usted hace una oferta justo un segundo antes de que el tiempo expire, el remate se prolongará otros diez minutos, siempre y cuando no haya ninguna oferta en ese tiempo. Si la hubiere, eso haría correr la finalización otros diez minutos más.

Las diferencias que esta variación en las reglas genera en la conducta de la gente son sorprendentes. Los usuarios de e-bay acumulan o amontonan sus apuestas a medida que se acerca el final, casi como si fueran francotiradores. En cambio, en Amazon uno no observa nada parecido.

Extraído de "Matemática, ¿Estás ahí? Episodio 3,14. Dr. Adrián Paenza